Trilogarithm Identities

• $\displaystyle\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac12\right)=\frac{\ln^32}6-\frac{\pi^2}{12}\ln2+\frac78\zeta_3$
• $\displaystyle\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac14\right)=\frac{\pi^2}3\ln\left(\frac29\right)+\frac43\ln^32-2\ln2\cdot\ln^23+\frac43\ln^33+\frac{15}2\zeta_3-4\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac13\right)-4\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac23\right)$
• $\displaystyle\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac34\right)=\frac43\ln^32+2\ln\left(\tfrac32\right)\left(\frac{\pi^2}3+\ln2\cdot\ln3\right)-\ln^33-\frac{13}3\zeta_3+2\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac13\right)+4\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac23\right)$
• $\displaystyle\begin{align*}\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac38\right)&=\frac{14}3\ln^32-\frac{\pi^2}3\ln2+\frac{4\pi^2}3\ln3-\frac{2\pi^2}3\ln5\\&-4\ln^22\cdot\ln3+4\ln2\cdot\ln^23-2\ln^33+2\ln2\cdot\ln3\cdot\ln5-3\ln2\cdot\ln^25-\ln3\cdot\ln^25\\&+\frac43\ln^35-\frac{19}6\zeta_3+6\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac13\right)+7\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac23\right)-2\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac15\right)-2\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac25\right)-2\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac35\right)-2\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac45\right)\end{align*}$
• $\displaystyle\begin{align*}\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac58\right)&=\frac{\pi^2}{12}\ln2-\frac{2\pi^2}3\ln3+\frac{\pi^2}3\ln5+\frac{23}6\ln^32-2\ln^22\cdot\ln3-5\ln2\cdot\ln^23+\frac43\ln^33\\&-\frac72\ln^22\cdot\ln5+2\ln2\cdot\ln3\cdot\ln5+\ln^23\cdot\ln5+3\ln2\cdot\ln^25-\frac76\ln^35+\frac{21}8\zeta_3\\&-6\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac13\right)-6\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac23\right)+\frac52\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac15\right)+3\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac25\right)+\frac32\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac45\right)+2\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac16\right)+2\operatorname{Li}_3\!\left(\tfrac56\right)\end{align*}$
• More to follow...